** Récurrence pour calculer des sommes

1. Démontrer par récurrence les égalités suivantes.
    a. Pour tout entier naturel $n$ , $1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$ .
    b. Pour tout entier naturel $n$ , $1^2+2^2+\cdots +n^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$ .
    c. Soit $q$  un réel différent de $1$ . Pour tout entier naturel $n$ , $1+q+q^2+\cdots +q^n={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$ .
    d. Pour tout entier naturel $n$  non nul, ${\displaystyle \frac{1}{1\times 2}+{\displaystyle \frac{1}{2\times 3}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n\times (n+1)}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}}}}$ .
    e. Pour tout entier naturel $n$  non nul, $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2$ .

2. Réécrire chacune de ces égalités en utilisant le symbole ${\displaystyle \sum }$  pour le membre de gauche.